Gauß-Vorlesung über Münzwürfe, Atome und Waldbrände

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Thanks a lot for the very kind introduction and well, thank you very much for the invitation. It's really a pleasure and honour to be giving this lecture. So since well, obviously the audience is quite mixed though, you know, professional mathematicians in the audience, but are also high school students in the audience. And so I thought I would start by asking a very simple question, which is what is actually mathematics? So you know, in school, a lot of what you do when you do mathematics in school, obviously, is you actually learn how to compute. I think the very beginning you learn how to multiply numbers, but then maybe you do a little bit more complicated computations, you learn how to solve equations or maybe how to differentiate functions or things like that. But I would say in a way, you know, computing is for mathematics, maybe a little bit like spelling or grammar is to writing. You know, obviously you need to know grammar in order to be able to write a book, but it's not really the essential thing. And so if you want to be able to write a book, you need to actually come up with an original story of a very original plot. And that's because you need to put it to paper, you need to write it. The important part of the story is the plot. It's the story, but it's not actually just the writing, even though, you know, of course, if you write well, you can use very beautiful language and that's an important part of the book as well. It's a bit similar with mathematics and computing. So actually, you know what's what you see here on the slides are computers and so until the you know, the sixties or seventies beginning of computer was the job. I mean, now, of course, you have an electronic computers and even Finland, you have all of you have a very powerful computer with you in your pocket, which you call a phone. But it's really a computer until the sixties. Computers, you know, being a computer was basically a job, but it was not a job for mathematicians either. It was sort of a medium skilled job, and you wanted to do it. If you could train for the job, it would be like a one month training or something like this. And then you could be a computer. So anybody can put out the computer pretty quick, then you can do it as a job. Well, now, of course, that Trump doesn't exist anymore. But you could. And so so, you know, it's mathematics isn't computing. What is it? I mean, to some extent this we're just exploring the world of ideas. And so it's, you know, just like in the allegory of the cover of Plato, which I know probably most of you have seen that story, the idea being that, you know, we are a little bit like people who become here who only see shadows of the world of ideas out there. And you try to kind of make sense of this world of ideas was, you know, only this partial information that we see with these troubles that we still provoke, Wolf, to come. And in some sense, mathematics is really the exploration of this. This outside world is this world of ideas. And it's you know, you try to some sense build confidence and see, you know, meaningful sentences about them, about objects that really have no logical contradictions. If you want to do that, you try to be as precise. You try to be absolutely precise in what you actually mean, right? A big problem often manages to be able to actually define things in a completely unambiguous way so that you really know what you're talking about and so in that sense, being a mathematician is a little bit like the opposite of being a politician. So you know, he's you're a politician, then the imprecise is a feature because you want to you want to say something which means different things to different people, either because if you want to get elected, you want as many people as possible to kind of agree with you, but people don't agree with each other. And so you have to say things which mean different things to different people. And then everybody can agree with you, even if they don't agree with each other. So as mathematicians, you do precisely the opposite of that. Okay? So you try to be extremely precise so that when you say something, you know exactly what you're saying and the person you're talking to knows exactly what you're saying. What. And so if you want, you know, all mathematicians in the world would always sort of agree on what the meaning of your sentence is. And so that's basically the only way in which you can, you know, come up with really true statements. I mean, it's a and nowadays, you know, is truth has sort of become almost like an old fashioned thing. I, I mean, if you look at what happens in politics nowadays, you know, basically people have become completely cynical and sort of nihilistic in a way and saying, well, actually, you know, you can just nevertheless think about truth and truth doesn't exist anymore. So, I mean, mathematics is maybe kind of one of the rare places where you really have sort of absolute truth. But the really truth does little for as absolute as logic actually permits. And on. So that's in some sense, you know, mathematics in general, this is very abstract provided. So you try to you build or you describe to school of logic. The concepts of mathematics has links to the real world. I mean, the reason why mathematics has been so successful is because of partly because of its applications to kind of describing the real world and the different ways in which it's linked. So one way physics, I suppose the job of physicists in a way is basically to link mathematics to the real world, to come up with mathematical models that provide meaningful statements of, you know, real world phenomena, then of people doing modelling. So it's sometimes physics and modelling, it's almost the same thing, except that you can think of physics as going from the bottom up and modelling is going kind of pulled down in the sense that physicists try to have some kind of fundamental understanding of, you know, basic processes in the world. So you try to come up with very fundamental principles like conservation of financing, of conservation of mass or things like this. And then you sort of build the laws of physics on top of that, whereas if you do modelling, maybe you might be informed by the laws of physics, but if you would take more of a top down approach where you would say, well, maybe that phenomenon is sort of too complicated to actually figure out the laws that regulate itself from the bottom up. And so you try to just try to come up with some heuristics in order to kind of describe it. But still, you build a mathematical model in order to describe some phenomena of reality, and that doesn't exist. So the way in which I think is which is somewhat special, which is how does the link between mathematics and computers in the way of computers, almost like the, you know, of a computer in the sense of, you know, your phone. It's really like some sort of a physical embodiment of mathematics, I thought was what goes on in some sense inside of a phone. When you programme a phone, it's essentially mathematics and it's as close as you can get in some sense to a in the life manifestation of pure mathematics in the real world, in a way. Now personally I'm probabilistic, so my area of mathematics is probability theory. So most of this lecture is going to be about that. And so let's stop. I mean, there's one thing which is kind of interesting about probability theory, which is that, you know, we all have some sort of an intuitive idea of what the probability is. But, you know, people can still actually argue about it. If you think about it, it's not completely clear. And maybe one reason for this confusion comes from the fact that to some extent there are really two different real world phenomena that we both call probability, and they are not quite the same thing. And the first one, if you want, is a subjective type of probability which is kind of related to your beliefs. So to be more precise, they don't take the following situation, for example. So, you know, next year there's going to be an election in the United States. And you can ask yourself whether Trump is going to be elected president. And I'll take the statement, you know, please, what is the probability that he's going to be elected now? So do you think the probability is, I don't know, 40%? And what does this 40% actually mean? So that's how I want to sell your piece of paper. Okay. And the piece of paper, if you own that piece of paper, then the day after the election, if Trump wins, you get €100. If he loses, you get nothing. And then the paper, the piece of paper is worthless. After that, the question is, how much are you willing to pay for that piece of paper? And the claim is that if you're willing to pay, what's the maximum amount you're willing to pay on? So if you're willing to pay 800, you know, like €99, that means that you're really pretty certain that he's going to win because otherwise you're losing money. Well, if you only willing to pay €1 for it, you know, it basically means you're not willing to buy it. And so it means you're basically certain that he's going to lose. And if you're willing to pay €50, that means that you think he has a 50% chance of winning. If you're willing to pay 70 you I mean, to show you a figure of a 70, he has a 70% chance of winning. That's all. Okay. So that's a kind of subjective if you want definition of probability and that's for events that are kind of one off because that actually is going to happen one year from now. And I said it's not going to be repeated tonight. It happens once. And that's so there's another type of probability that appears in situations where you have an experiment which is repeatable. So it's an experiment where you don't know, just like in the election, you don't know the outcome, you can't possibly predict the outcome. Like nobody has the information required to predict the outcome. Maybe even in principle it wouldn't be predictable, but you can repeat the experiment and then you can ask yourself, you know, how often the different outcomes occur. And so that's usually one the more sort of objective or a posteriori definition of a probability where you know, like for example, you roll the dice, you can roll the dice a thousand times. It's the same experiment, even if it's not exactly the same, in the sense that every time you roll it, you can roll in a tiny little bit differently. But but for all practical purposes, it's the same experiment. It's can repeat it as often as you want. And so they're saying that the probability very come that you roll the six is one over six just means that, you know, if you roll it a million times about a sixth of the time, you're going to get a six. I that's if you want for the you know mathematicians in the audience in a way some of the difference between the evasion and the frequentist perspective which statisticians spend a lot of time arguing about. I mean, the claim is that it's basically two different are just two different types of set ups and both of them arise in the real world. And it so happens that both of them are described by what we call probability theory, but actually just fundamentally slightly different things. But then once you have these probabilities of, you know, then we have various rules, what until we know that, for example, if you have different outcomes, so is the than the probability that one or the other happens is the sum of the probabilities. Is that mutually exclusive? Right. That's the probability that you rule a six is one. Let's take some of it into the one is also one of the six. The probability that you rule that one more thing one one over 349 and you multiply those in some sense and corresponds to multiplying is very independent, etc. So we have various rules of the work with these probabilities, but that's just so important. You still have to assign them. Why do you have rules for working with these probabilities once you have them? For certain patterns? But you need to come up with these probabilities of of the simple events to start with. And there are essentially two guiding principles for doing the action. And the first one we've already seen in the examples for rolling off the die, which is symmetry. And so that's the situation where you do an experiment. There are different outcomes and the different outcomes they are you are able to distinguish between them. But as far as the mechanism of the experiment is concerned, it doesn't make any difference. And so this is like when you roll the dice, you can see whether it comes up one or two or three at a time. But if the die is completely symmetric, as far as the ruling is concerned, it doesn't make any difference, you know, whether it's in one position or in the other position. Same for passing the point. You can see whether it comes up and or tails. But as far as the coin is concerned, it doesn't make any difference at all. And so in this case, well, if you're in this situation like this where you have different outcomes of that, but you are able to distinguish. But the mechanism that produces that, you cannot distinguish between them, then it's natural to assign equal probabilities for all of these outcomes. I'd like to rule that either ask it's possible outcomes are completely indistinguishable, so each of them has probability one with six coin toss, each of them has a probability of a two. So there's only two outcomes unless you're really, really lucky. The contrast. And then there's another principle which is more subtle, and that's something which is much less intuitive, which is something called universality. And actually it's quite fitting that, you know, Gauss's name is attached to this actually for going to see this item. What is two part of this? So universality is this fact that actually in situations where, you know, you have some random outcome that is actually, you know, it arises from somehow many, many different kind of random events that combine in order to produce an outcome. Then very often in some kind of limited the probability distribution, distribution of the outcome doesn't really depend very much on the details of the the probabilities that you assign to all of the random events that kind of combine to produce the outcome. So one, one way in which this arises is what's called the Gaussian distribution, which is named for Gauss, the same policies, Gauss from the Gauss lectures. And so what's the gas distribution? Well, for example, one thing you can do is you take imagine you take a coin and you toss it 100 times and you count how many times it comes up. And so if you toss a coin 100 times and you look at how many times it comes up head, well, on average it would come up 50 times. But, you know, typically it's not exactly £50 either. I mean, sometimes it's 27, sometimes it's 51. But I don't. And so maybe I took that experiment itself a thousand times and then I do a histogram. I look at, you know, how many times do I get 50? Has always I'm still against 51, 49 and so on. And so here I was done by the experiments I mean obviously and didn't also coin 100,000 times. But I just ask the computer to do it and you know you get to is the wrong like this. So in this particular case you see for example fifties in the middle of the fifth, I actually got like 49 heads. So to be more often than I hundred and 51 against five people, often in 50. But it's all of roughly distributed from some kind of curve like this. So if you do it 10,000 times or a hundred thousand times, I say it gets closer and closer to that curve. And that curve is called the distribution. And the beauty of it is that it's the same curve. Controls are if you do that sort of statistics, you know, for pretty much any distribution. So here I, you know, just toss the coin and counted how many times it came up has included, for example, roll the dice and counted how many times I get the six, which is not quite the same thing I think is the probability of getting a six is only one of my six means of getting had is one or two. But you know, if you do the same kind of experiment, the curve that you're going to get is going to be exactly the same. It's going to be shifted a little bit on, you know, on selected small scale. The problem is going to be exactly the same curve. And in many, many situations, it's basically always in a situation where you have like very small random quantities that are more or less independent and that you add up, you know, that if you produce a large quantity. So basically in every situation like that, this caption distribution shows up. And so then, you know, when you in a situation like this, you know that you get something off and you don't actually really need to know the details of what's the distributions of all the little things that add up to something big. Okay. And so that's a really important principle because it tells us that we can basically make predictions on random systems, even if you don't know all the details of the mechanism of how these systems work. Now, these two principles step, you know, the first principles seem pretty clear, right? I mean, the second principle is that's my explanation is a bit of wishy washy. The first one seems very funny, but even the first one, you have to be a bit careful. So for example, think the following situation. So say I have two envelopes and the only information I give you so each of them has a checking and the only information I give you is that one of the checks has twice as much money as the other one. And then you open an envelope, you see what's written on the check, you're allowed to look at it. And then I give you a choice. So either you keep the money or you can change your mind. Okay? So you can take the other block if you want, which is either twice as much or half as much of this. If you change your mind, if you have all out to change boxes because you know, it's the one with the smaller amount. And so the question is what should you do? Well, you know, if you change your mind, how much do you get the effort to save the first envelope you have asked yours? So then in the envelope, I lose, you know, half chance of this twice as much and half times does half as much. I told the average it's a half times more powerful, but also half chances are twice as much, which is 5/4 of the value. So you should change your mind because again, on average you get five quarters of what you because if you don't change your mind but it works for every value of x, fine. So you didn't even need to know from the envelope to know that this. So you should have just chosen the other one before you even after that. I think it doesn't make any sense. So so what's the problem here? The problem is that, you know, it sounds like one of these situations doesn't benefit, but they're actually not. If you really think so, they replace the two by a thousand and so. So say the other option is the all the envelope, as I know a thousand times as much or on the 1000 times as off, you know, then it's even clearer that you should change. I think it's more it's a half chance of getting thousand times more and a half chance of getting basically nothing. So you should always change because you get basically 500 times more. But now you know, let's think sort of real world situation. You open the envelope, you see 10,000 in what you you're actually going to do and you're obviously not going to switch. And because I would be really crazy giving you that million you I don't have to start this and so you know so you make it so the thing is you make it sounds like a cute little maths problem. They have this accent, it doesn't mean anything, but there's really a difference between €1,000 and €1,000,000. I So it's actually not symmetric involved situation. And so, you know, this is sort of just a cute little problem. But you know, there is this is the trap one can fall into, which is to, you know, take some real world situation and turn it into a little cute little mathematical problem. And then, you know, you do the calculation, you get some outcome, and then you say, oh, yeah, okay. So this is, you know, what the outcome in the real world is supposed to be. And then you don't realise that you've actually dramatically oversimplify what's going on. And, and there are situations where this can have actually dramatic consequences. So there's a case that happened, I don't know, which was maybe ten, 15 years ago or something like that. In the U.K., there's a lady called Sandy Clarke, and she has a child. And what it was I noticed a few months old sometimes, you know, babies actually die for unexplained reasons. Actually, it happens very rapidly. We find out it's called Sudden Infant Death Syndrome and all that's happened in that case. And two years later, she had another child and the same thing happened again. And so then some people got suspicious because this one, you know, what's the chance that actually this will happen twice to the same family? So maybe she actually murdered her children. And so she was accused of murdering her children just on the basis that it would be extremely unlikely that this happens by itself. And so there was a trial and there was an expert witness who testified for the prosecution and said, well, you know, in a family of this and that social background, the probability of having sudden infant death syndrome for a child is about one in 20,000. And so the probability of having two children in the same family tying it all is one in 20,000 times more than 20,000. So it's one in 400 million. And so it's so unlikely, but this couldn't possibly happen. And so she must have killed the tenant. I'm and she actually got convicted and she said, you know, seven or eight years in jail before the conviction was overturned. And, of course, it was overturned because, you know, the verdict was completely ridiculous. It's down to the states, you know, so the first mistake is to think that one in 400 million is really small. I mean, one in 400 million is really small, but that's 20 million families in the UK now, billions of families in the world. So the chance that it actually happens to some family is very high. I was just like, if you play the lottery, the chance that you win the lottery is very low. The chance that someone wins the lottery and you know, it happens every week. So I mean, here is, of course, the opposite of winning the lottery. But and the other mistake was to just multiply the probabilities because you can do that for independent things. But there's no evidence that this is something independent. I think it may very well have some genetic component. As far as I know, it's not completely clear. You know, if I mean, you can certainly imagine that there might be a genetic component to it. And then that means that if one child dies of sudden infant death syndrome, well, it may be because of some genetic reason. And if that's the reason, there are good chances of the other child who has the same condition and would die for the same reason. But until you have one just naively multiplying the probabilities. So now let me come back to this other question. So this principle of beautiful solitude. And so I mentioned the Gaussian distribution, but I want to mention also maybe a more sophisticated type of universality that shows up, which is in some sense quite similar to discussing distribution. And so that's related. That's what's called Brownian motion. And so Brownian motion, something was so it's named after a problem problem. So he was a British botanist in the 1800s. And what he did is he he had a he was actually looking at pollen particles under a microscope. And so he had a sense of little pollen particles. And those microscope and what he was applied to here you see these particles and what you would see is actually something like this. And so you look at these particles under the microscope and you see them moving like this. I do make this a little jittery motion. And and so he was trying to understand why they do that. So, of course, it was very careful to kind of make sure that, you know, the water itself was not moving any more often. It wasn't just because they were kind of being transported around. In the beginning, he thought, you know, maybe these are actually alive, but they are little like these tiny little animals that move around. But then he made sure to rule that out. We can make sure that, you know, there would be no like malnutrition for weeks or something and then beef off the weeks and was still doing the same. And so he it was pretty clear to him that they weren't alive. And so so there's this question of why. Why do you have this quantum motion? Where does this come from? And it's actually a question. It's interesting because those who live in Victorian England, well, this question did actually capture the imagination of the general public. So it was, you know, like a topic of conversation for high society. One was this question of, you know, can you actually understand the fly why there is this form, the emotion of this, the explanation that people came up with and sort of a quantitative version of this explanation was then actually provided by Einstein on the spot, which was good. So it's the wall of ice and Feynman's 1905 papers where, you know, it's in two parts. So there's the physical reason, of course, which we kind of all know now. And stocks, you know, water is made of molecules and the molecules of water, they really behave a little bit like little billion balls. So they're kind of just moving straight lines. And if you want, the temperature of the water is kind of like the speed of these variables, all the animals in all directions and completely disordered in a good way. So now you'll pull in particle. I mean, it's a very small pollen particle, but it's huge compared to a molecule of water. And so you have this huge pollen particle that gets bombarded by molecules of water from from all sides every time there's a molecule of water that bounces off it, you know, it gives it a little push and push in one direction. But, you know, a molecule of water is so small that, you know, you basically don't see the effect. But there's billions and billions and billions of molecules of water that, you know, pushing it all the time. And the cumulative effect actually does make it move. And that's what you see under the microscope on. And Einstein is philosophically they actually made time also quantitative in the way even to predict kind of by how much it's supposed to move. And mathematically, the description they gave was in terms of what's called the heat equation. So it's basically saying, you know what, they did predict is how does the probability that the particle finds itself at a given location evolve over time? I think imagine you see the particle at some point and then you close your eyes and so it moves along randomly. And then you try to predict like 1 seconds later where it's going to be since it moves randomly, you can't tell for sure. The only thing you can give is sort of maybe some probability distribution. And it turns out that probability distribution is actually, again, the Gaussian distribution of the. On the other hand, it's also related to the evolution of heat in the solid body. So imagine that you take instead of looking at how the probabilities evolve, you look at how heat evolved. So you take, for example, a piece of metal which is cold, and then you heat it up in one point and then you ask yourself, how does that hot spot kind of spread out? And that's actually given mathematically, it's given by exactly the same equation, which describes the evolution of probability. And so with that so since they have, you know, quantitative predictions, they have two ways of relating all the coefficients that drop in the equation to the microscopic description of water as being made of molecules that form it. It was so funny that these predictions and the reason why they were important is because at the time it wasn't actually completely clear that matter is made of molecules and of atoms. And now, of course, we know that matter is made of atoms. And you can you can produce microscopes. Thisis really powerful physics. You see individual atoms a lot of the time it was sort of the prevailing hypothesis. So most people believe that mother is made of atoms, but there was a lot of competing hypotheses and there wasn't really a single experiment that had no other explanation. And this was the first experiment that really had no other explanation. And the fact that water is made up of molecules and so so the fact that in half, two years later, he actually really experimentally verified it and, you know, he figured out that the predictions that Einstein was asking made for, you know, how far these particles move as a function of size and of this positive full time basis, if you will. That's long. But this prediction was actually correct to within I know that like 10% around something that really kind of settled the debate about the existence of atoms and actually provided what the Nobel prise for that in 1926 precisely because it's happened to be based on the existence of atoms. And what's interesting is that about about the same time there was a young French guy for again and so he was interested in something completely different. So he was interested in what now we would call mathematical finance. And so he was interested in understanding the stock market and and so he wanted to understand how prices, you know, share prices evolve. And, you know, the story that he developed and his thesis was basically the following simple case that you have a share price and there's lots of people buying and selling its shares. And every time somebody buys a sale, it creates a little bit more demand. So that actually drives the price up. And every time somebody sells, wants to sell a share, it kind of, you know, drives the price down. And I think many people would do that in most cases. You know, you and I was we sell shares for 100 or €4,000. It doesn't have any effect on, you know, multibillion dollar companies. So the individual trades have tiny effects, most of them. But there's many, many of them. And sometimes they drive the price up, sometimes they drive down. And so there's a cumulative effect, which then makes the price move between us a little erratic and run away. And so you see, the story is basically exactly the same as the one with the wrong emotion, except that now the role of the grain of policy is played by, you know, the price of the big company and the role of the water molecules is paid by, you know, the investors buy the shares and sell the fast. And in his thesis, he also actually devised the heating collection. So he also set from air. So actually evolution of the plasma is described by this question and now this time it describes the probability that the price is rather than the probability of a position to certain values. And so that's what's basically, you know, the foundation of modern mathematical finance. And also, I think some of the more complex roles who then got the Nobel prise for not in economics but really didn't really get much out of this. So he was in some sense he arrived too early somehow. And the you know, the French formulas of the time were not particularly impressed by his work. And they also, you know, thought it wasn't terribly great, useful mathematics. And so how, you know, describes these lowly material questions of, you know, just prices of confidence and things like that. And so he had a really hard time actually finding a job. He had a job at the Sorbonne at this stage. But then there was World War One and he lost it. He had to go to fight. And when he came back, the trouble was gone. And then for most of his life, he was basically giving private lessons. And he, you know, he got his permanent job in his late fifties or something like that. So he was a bit unlucky. But then so you see the point of these two stories is that you have two situations that are in principle completely different. And on the one hand, you look at grains of pollen that move around in water. On the other hand, you look at the evolution of stock prices and then the stories that you tell about them are kind of similar. I think both cases there are sort of lots of little things that sort of cover the fact of the cumulative effect, sort of makes the last thing move around. That's essentially the same stories in both cases. And by this universality, it somehow tells you that that's actually the same mathematics long term behind both of these equations. And so if you want to actually make some real maths out of that, I tell you one. So, so I already mentioned that there's some overheated question that is some real off but but that doesn't really tell you how these things look like. What you would really want to do is, is to somehow say, well, you know, if I look at the trajectory of my stock price, for example, what does it actually look like? The function of time. So mathematically, what this means is that you want to construct something like a random a random continuous function, which tells you how the stock price moves. And that was actually done by Venus. So he was a mathematician, not M.A. in the finance. And so it looks like this one. Well, actually, I have a memory for that one. So here is the one. I am this horizontal one stock is vertical one. And so here you think there's this idealised mathematical object which is now called the visa process, which describes this evolution, and that's a random function. And here what I did is I taken one sample from that random function and then I kind of zoom it's the same function and I just zoom out more and more. Honestly, it moves just because I'm zooming up. And this problem that you see is just to say that the way I'm doing now is the way that it's the problem of face to face. Zoom out by a factor of two horizontally. I actually have to zoom out by square with this tool and the vertical. I've got to start the way of assuming that keeps the problem fixed for the next sitting across. If you want. And if you do that way of zooming out, then it always kind of looks the same. So it has some kind of fractal self, similar kind of behaviour. And then more recently what's involved school for example. So here we proved the mathematical theorem in some sense quantifies the statement that, you know, many things that behave in that way. If you look at them on very large scales, they look like this being a process which is this idealised mathematical objects that I just showed you. Okay? And so now to to conclude, I wanted to give you a little bit of the mathematics that I've been talking about so far. It's basic standard. In the fifties, it's mostly 1820. This is this was 500 year old masterminds of. So what I want to do now is if you just a little glimpse into the bond model, like, you know, recent mathematics from the past five years, the last ten years. And so here the situation is. You ask yourself about fluctuations of interface growth models. Well, here's the situation that you should imagine, is that there is a there's a two dimensional surface, and it comes in sort of two types. For example, here at the surface is the forest, and there's a forest fire. Okay? And so then there's one half of the surface, which is the bit that was burnt. And then there's the other part, which is the bit that's not timber. And there's an interface between the two which is the same form and the same from well here it clearly moves in one direction. It always moves in the not yet firm direction. And that what you see is you look at this flame formed and you see that it's you know, it's more or less like a straight line, but it's not quite strength. And so it's in the 14th arrondissement, you know, you know, this is because some bins burn a bit better, some bits are less well, but it's the same bits where it was at the prospect that it was a bit slower. And so then you can ask yourself, you know, is there like some kind of idealised mathematical object that describes, you know, the fluctuations of the strange one? But now this time, it's not just a random function of space. It's a run on function of space and time because the function moves off like a random moving and the same situation shows up in different circles. And so here this is a picture from an experiment about liquid crystal. So it's liquid crystal like the liquid crystal. So you have like you, a TV display and it's a type of liquid crystal accounting in two phases. And they have different optical properties on the microscope. You see the difference. I suppose one type of looks, but the other one, the square and one is a bit more stable than the other one. So let's say the the blackboard is a bit more stable than the grey one. And so what you do is you first preparing the grade state and then what you do is you take a laser beam and use little zap for laser beam across it. And when the unstable state got something off, I'm entering. It's activated into the flips into the same state. So basically when you hit it with the laser beam, it turns black and then the black thing is more stable with actually the spot. And so what you actually see is first it's a little break. The news happened with the laser beam, you see a black line and then the black line gets bigger because the black is more stable. And then the you know, the edge of the black line is what you see here. So it's not quite straight. It seems to be a bit weakly like this. And then you ask yourself, how do these wiggles behave? Is that like a natural mathematical model for how they can also come up with just some, you know, random like mass models that have a similar feature? So for example here, this is what I call the Texas model to the Texas model is you just have Tetris bricks falling down on. And so here you just get the big pile of Tetris packs that you just imagine. The screen is like a Tetris game. So you have the Tetris bricks tumbling down, falling down the pylon, and you don't plan on it. So they just tie it up until you see something like this. But and it's a little bit similar, right, in the sense that now there are two regions that at the bottom is the region that sort of fill up with Tetris place. And at the top there's the region which has no bricks yet. And while here there's some sort of yeah, it's sort of supposed to be roughly centred at the boundary between the two regions, but you don't really see much, but you can zoom out. You see that we've had zoom out. Yeah, I see something like this. So now I'm running in my phosphor until the Tetris bricks kind of fall down super fast. And let me just pause this. All right, so now you really see I saw this. There's the region here which is full of bricks. There's the region here which has no bricks. And there's a kind of interface here between the two which is, you know, vaguely like this. And the interface moves. Now it is moving it move. And now you can ask yourself, you know, if I zoom out more and more, do I get some kind of idealised thing, right? So I can I can zoom out even more, actually. I go even faster. You get something like this. So instead of like an idealised mathematical model, but this context, it's just like there is this we have policies that describe some idealised form of emotional stock prices. So in this case, this is something called which has now been described. But this is my point from the last five or six years or something. So the first actual description of that object was done in 2016, I think of 15 or something like this was very expensive and recent and what can actually describe this object. But for example, the understanding is still by far not as good as what we have for wrong emotions. So in the sense that there are a few toy models, for example, for this Tetris bricks model, there is no theorem at all. I mean, sort of fairly simple feelings, but they basically say nothing about the fluctuations of. There are a couple of very, very specific mathematical models that are little bit similar to this Tetris big model for which one can actually show them, you know, if one zooms out in the correct way of smoothing out, that there is a limit and you can actually describe the limit. But the description of the limit is rather complicated. And it's kind of interesting because the description of the limit relates to some of these different variables, plus the balance, which is called Run the Matrix Theory, which in prison has no business showing up. You know, and we saw this situation here about a thing which is much better understood me is situations where citations are symmetric. Also year fluctuations were completely asymmetric in the sense that you know, the Tetris bricks, the only pylons, they only go up, they never go down. The flame front always burns in one direction. You never retreat on them. And once the forest is burned, experiment's not going to earth again. Save for the liquid crystal and it's always the black one that in place the hydrogen region will never be able to Iraq. But there are other situations where you can imagine, you know, two regions competing and they compete on equal footing. And then, you know, the fluctuations can kind of go both ways. And those are much better understood. And then one actually understands very well what the limited movie is, if you want, and it has a description which is much more like some of Brownian motion in terms of cash and distributions, kind of. And so then what can ask oneself, you know, what if we're in a situation where it's not symmetric but almost symmetric, I will say there's two regions. One of them is a tiny bit more stable than the other one. And so it's kind of whatever it takes to invade the other region, but very slowly and for most of the fluctuations are quite symmetric. But then, you know, it invades a little bit and then it turns out that, well, if you zoom out by not too far, what you see is basically the same as if it was symmetric. It's a zoom out by a lot, but what you see is exactly the same as if it was completely asymmetric. And there's one you know, there's what's called the crossover regime where you somehow move from one situation to the other one. And it turns out that that also has some kind of universal behaviour. So there's an equation that shows up which is complicated is the equation which I wrote down here, which is a stochastic partial differential equations, and it's kind of a universal equation that describes the crossover regime. And so that by now, as you know, a number of theorists that have been involved in, you know, which really tell you that there are many situations of that type where that exact same equation actually shows up and describes this kind of crossover regime. And the interesting thing about that equation is that so I don't want to go over it because this is a sample of the actual. But there is this term here which is the square of the slope of the solution. But you see already you've seen a little from the movie. These things tend to be really quite rough. I've I've actually seen you do a I have another movie here for the the solution of this equation kind of looks like this. And in fact, what you see here is that if I freeze this movie, I don't know, $1 here falls on, so I'm not going to see the time. Okay. Anyway, you can kind of imagine what it looks like if it's frozen, if you freeze this movie and you see that it kind of looks like one of these. But the emotions, you know, in space time and that we saw that it was self cinema was this sort of problem the motion might which means that basically at every point the slope is kind of incident and because it's almost tangent to that problem comes it's zooming up and it brings up, you know, that equation is just complete nonsense because this here is the square of the slope of the slope is infinite at every point. And so it's part of the equation on the right hand side, that's just the big infinity. And while this we with simple here are not spitballing, that's the thing that makes it harmful and ultimately that makes it very irregular. And so in a way, you have to really write the equation right next to with a kind of minus and trinity and then what does that mean? So for we have the equation part and you know, so down on the part of the material I'm actually on the on right is you can ask yourself to do equations like that. Actually we have a V, right? And it's not just like it's not just about what kind of mathematical questions really. You know, they show up and show you the kind of models for the show up and then you can, you know, really compare, you know, if you give it a mathematical meaning, this stuff isn't really the same as the thing that actually shows up on. And it turns out that you can do that. And I think that's so thank you very much for.

[Transkript automatisch erstellt]
Es ist mir eine große Ehre, heute hier sein zu dürfen und ich freue mich sehr, Sie oder, wenn ich es mir erlauben darf, für die nächsten 50 Minuten Euch auf eine gemeinsame Reise mitzunehmen. Wir haben uns ziemlich viel vorgenommen, eine interaktive Reise und zur Vorbereitung gibt es einen Aufruf und zwar ist mitexperimentieren oder mitspielen erlaubt. Das heißt, ihr dürft, wenn ihr Laptops, iPads oder Tablets oder Mobiltelefone dabei habt und wollt, dürft ihr die gerne auspacken und ich erkläre gleich, wie das funktioniert und ihr dürft mitspielen. Also wir experimentieren hier und es ist auch insgesamt ein Experiment hier mit einem vollen Hörsaal, Experimente durchzuführen, also das ist ein Doppel -Experiment heute. Genau, das ist die erste Reisevorbereitung, die zweite Reisevorbereitung. Hier, Fragen sind wichtiger als Antworten, ich habe hier noch ein Sternchen dazu gemacht, Antworten sind schon auch wichtig, aber ich finde als Mathematiker oder Mathematikerin, ist Fragen stellen total wichtig und die Freude am Nicht-Verstehen, das ist vielleicht auch das Erste, was man lernen muss, wenn man Mathematik studiert oder macht, dass man sich richtig freut, wenn man mal was nicht versteht und weil dann kann man wieder Neues lernen und hat irgendwie wieder eine Herausforderung. Ich lade euch ein, jetzt leise, im Nachhinein können wir vielleicht auch noch laut Fragen zu stellen, aber die Fragen schön mitzulocken und mitzuforschen hier mit dem Nicht-Verstehen, da kann man ganz, ganz viele Fragen stellen. So, wie funktioniert das? Ihr habt auf dem Programmheft auf der zweiten Seite links den Link dabei und auch nochmal den QR-Code. Man kann sich dann aber auch merken, t1p, das muss man sich auswendig merken, .de ist einfach und cfg ist Karl-Friedrich Gauss, also t1p.de slash Karl-Friedrich Gauss. Damit es noch einfacher wird, habe ich auf allen Folien immer ganz rechts oben die Webseite auch mit dabei. Gut, und wir starten gleich los mit dem ersten Experiment, einem Lichtbillard. Wenn ihr die Webseite auf habt, dann sieht es so aus. Hier die Gauss-Vorlesung und hier sind ganz viele, ganz viele Links. Schauen wir mal, wie viel wir schaffen. Es gibt hier manchmal auch noch mehr Infos dazu zu den einzelnen Sachen. Wir starten jetzt mit dem ersten Lichtbillard. So, wie funktioniert ein Lichtbillard? Ich habe einen Lichtstrahl, den schicke ich raus. Die Kreise, die wir hier sehen, das sind Spiegel und der Lichtstrahl, der fällt ein, mit dem gleichen Winkel kommt er wieder raus. Das machen wir immer wieder. Wir iterieren sozusagen den Lichtstrahl und wir können hier die Kreise größer und kleiner machen. Wir können die verschieben und wir können den Lichtstrahl hier zum Beispiel auch in den Kreis hineinsetzen und können dann den Winkel verstellen, wo der Lichtstrahl hingesetzt wird. Wir können es größer und kleiner machen und kann man jetzt ganz gut herum experimentieren. Man kann zum Beispiel hier ein sehr symmetrisches Muster einfach stören, indem ich hier noch einen kleinen Kreis reinschiebe zum Beispiel und bekomme so chaotische Verhalten. Es ist auch ganz spannend. Man hat was Schönes Symmetrisches und macht hier noch eine kleine Änderung, so eine kleine Störung und es wird sofort chaotisch. Sie können sich fragen oder ihr könnt euch fragen, was passiert. Kann ich vorhersagen, wo dieser Lichtstrahl landet nach 100 Iterationen zum Beispiel und man kann auch hier zum Beispiel einen Kreis mit hier reinnehmen und den hier reinnehmen, verschieben und schöne Muster erzeugen. Es gibt einen Mathematiker, Sultan Palma, der hat sich gedacht, ich nehme jetzt diese Kreisspiegel, gebe denen ein schönes Muster und versuche mal damit Muster zu erzeugen. Also ich mache so ein Gitter an diesen Kreisscheiben. Der hat ein Programm entworfen, das gibt es auch hier verlinkt unter den Infos. Das Programm muss man installieren und da kann man jetzt einfach diesen Lichtstrahl durch diese Spiegelgitter hindurchschicken und schauen, was da rauskommt. Also man hat ein Lichtstrahl und was ganz spannend ist, man kann hier zum Beispiel, es gibt hier verschiedene Gitterformationen und es gibt hier unter anderem einen Goethe-Faust Teil 1. Er hat so eine Symbolkarte, die habe ich jetzt leider gestern nicht mehr gefunden, schnell, aber er hat sozusagen das Muster von diesen Lichtreflektionen in Buchstaben umgewandelt und hat hier den Anfang von Goethe-Faust geschrieben. Ich habe den auch hier nochmal extra rausgesucht. Ihr naht euch wieder schwankende Gestalten, die früh sich einst im trüben Blick gezeigt, ist hier kodifiziert und das Spannende ist, wenn man jetzt hier reinschaut, man braucht natürlich, um sowas zu schreiben, eine sehr hohe Genauigkeit. Also wenn ich jetzt hier mal reinschaue, dann hat man hier zum Beispiel die Position, die Höhe von diesem Lichtstrahl hier, die hat 1039 Kommastellen. Ich gehe jetzt mal hier zur Kommastelle 100 und ändere jetzt mal hier, mache mal aus dem Fünfer zum Beispiel eine 4 und dann sieht man, kommt was ganz anderes raus. Das heißt auch hier, wenn ich das hier drehe, sieht man schon, es ist gar nicht so einfach und man muss schon mit sehr viel Mathematik ganz genau berechnen, aber theoretisch könnte man hier den ganzen Goethe-Faust kodifizieren. Erstes Experiment. Es geht weiter. Wir machen jetzt mal eine Fischschwarm-Simulation. Gehen wieder zurück in unsere Liste und haben jetzt ein so ein einfaches dynamisches System mit Fischen, das sind so Agenten hier und jeder Fisch schwimmt nach gewissen Regeln. Man hat hier so Regler und kann sagen, Fisch schwimm bitte schnell oder langsam, Fisch schwimm mit deinen Nachbarn mit und zwar mit null Nachbarn, okay, da passiert nicht so viel, schwimm bitte mit deinen fünf Nachbarn mit und schwimm auch zu den Nachbarn hin. Mal schauen, was passiert und jeder Fisch macht genau das Gleiche. Also jeder einzelne Fisch bewegt sich nach diesen Regeln. Jetzt könnt ihr mal versuchen, irgendwie einen großen Fischschwarm zu erzeugen. Man sagt, okay, wir machen viele Nachbarn, ich habe einen Fischschwarm oder weniger Nachbarn, dann schwimmen die so herum und das Spannende ist, dass jeder Fisch genau dasselbe macht, nach den gleichen Regeln agiert, aber insgesamt ein globales Schwarmverhalten entsteht. Man kann die Fische auch füttern, indem man hier mit der Maus hineinklickt. Das funktioniert natürlich auch immer gut und das sind so Objekte, wo die Fische nicht durchschwimmen können. Was hier spannend ist, genau so Systeme, ich weiß nicht, ob jemand von euch das Game of Life kennt, das ist ein zellulärer Automat, aber das ist im Prinzip ganz ähnlich. Man hat sozusagen eine Regel an jeder Stelle genau gleich. Man arbeitet ein bisschen mit den Nachbarn, so wie hier. Also ich weiß schon, wo sind meine Nachbarn und kann aber damit im Prinzip, gibt es auch eine schöne Theorie dazu, Turing completes, also im Prinzip alle Algorithmen der Welt über so Regeln abbilden. Gut, nächstes. Genau, die Linkliste bleibt auch online, also ihr könnt dann auch später noch in Ruhe weiterspielen. Surfer, das ist ein Programm, wurde auch kurz erwähnt, mit dem Imaginary, mit dem wir groß geworden sind und das ist ein algebraischer, also ein Raytracer von algebraischen Flächen in Echtzeit. Wie sieht das aus? Genau, man sieht das gut. Ich habe eine Formel hier unten, das ist eine polynomiale Gleichung, also in drei Variablen. Ich habe ein x, y und z und kann irgendwie hoch 2, 3, 4, 5 nehmen, plus und mal. Ich darf jetzt keine Sinusfunktionen hier, also nichts Kompliziertes und kann hier unten irgendwas ändern und dann sehe ich sofort die Fläche im Raum, die reelle Fläche im Raum, also die Nullstellen von dieser Gleichung sofort abgebildet. Das ist ein Programm, das superschöne Bilder erzeugt, die kann man hier auch drehen. Man kann hier mit einem Regler rein und raus zoomen, also man kann sich vorstellen, diese Flächen, die man sieht, sind mit einer Kugel abgeschnitten, also je nach Fläche sind die kompakt, also man kann die irgendwie einfangen rundherum oder sie gehen unendlich weiter. Also diese hier würde weitergehen, also hier sozusagen ist die abgeschnitten und es gibt hier auch sowas wie ein a, das ist ein Parameter, den kann man hier verstellen, also man kann hier auch noch so Parameter einbauen und das ist eine Riesenspielwiese, also man kann auch einfach irgendwie anfangen. Ich mache jetzt mal hier x ist 0, das ist jetzt die y und z darf sein, das kann alles sein, das heißt ich habe die y und z-Ebene und kann dann sagen x mal x ist nur ein Punkt hier, x mal y habe ich zwei Ebenen, x mal y mal z hätte ich jetzt schon drei Ebenen. Das heißt, wenn ich hier multipliziere, kann ich ein Bild addieren, weil das immer ist gleich 0, das muss man sich dazu denken und ich kann aber auch sowas wie eine Kugel zum Beispiel x² plus y² plus z² ist gleich 1, so eine klassische Kugel mit Radius 1. Ich kann jetzt ein bisschen höher zoomen, hier habe ich eine Kugel. Wenn ich noch was addieren will, zum Beispiel einen Saturn, dann mache ich hier noch ein y dazu, dann habe ich noch eine Ebene dazu. Ich kann auch schneiden, das ist ganz interessant, also nicht nur addieren, das ist ein bisschen komplizierter jetzt, muss man sich algebraisch überlegen, also ich könnte jetzt sagen, die erste Gleichung zum Quadrat plus die zweite Gleichung zum Quadrat und dann muss ich aber noch irgendwas kleines abziehen, ich mache jetzt mal ein a, dann habe ich hier genau den Schnitt zwischen der Fläche und der Kugel. Ich muss was kleines abziehen, weil sonst sehe ich es nicht. Wenn es nur eine hauchdünne Fläche ist, dann kann dieser Raytracer die Fläche nicht visualisieren, das heißt, hier kann ich zum Beispiel einen Ring machen, indem ich das a ein bisschen größer mache. Was spannend ist, wenn ich jetzt nicht minus a, sondern plus a mache, hier passiert gar nichts, klar, dann ist es weg. Hier ist es ganz interessant, wenn man hier aufklappt, gibt es ein paar Beispielgleichungen, es gibt ganz spannende Sachen. Hier gab es eine, damals war es noch eine Schülerin, später eine Studierende, Studentin, die hat diese Gleichung hier erfunden. Wenn man die anschaut, denkt man sich, okay, was wird daraus und man kann die dann in das Programm hineinkopieren und sieht, das ist die Gleichung des Löffels. Ganz praktisch, total schön, so eine Löffelgleichung braucht man oft. Genau, kann man auch probieren, hier gibt es die Gleichung, man sieht auch, dass es ein bisschen getrickst ist. Mal schauen, ob das funktioniert. Ich mache mal hier den Löffel rein, das ist auch ein Experiment. Der Löffel ist da, aber ich glaube, wenn man rauszoomt weiter, dann sieht man schon, der Löffel ist in der Mitte, aber da geht es dann noch irgendwie weiter und was auch spannend ist, diese Visualisierungen, die sind auch nicht immer korrekt. Es gibt hauchdünne Linien oder Singularitäten, die sind auch schwer zu finden und es gibt hier noch mehr Gleichungen. Also es gibt hier noch die Gleichung des Herzens, das zeige ich auch noch, weil das ganz schön ist. Das hättet ihr vielleicht schon gesehen. Achso, da muss man noch ein Mal einfügen. Genau, die Syntax muss natürlich korrekt sein, sonst funktioniert es nicht. Okay, aber es gibt auf jeden Fall eine Halbgleichung auch, da ist irgendetwas passiert. Ich muss mal schauen, ich hatte jetzt mein Hin- und Herschalten, funktioniert nicht mehr so gut. Ich muss ihn einmal kurz einstellen, tut mir leid. Was spannend ist mit diesem Surfer, da ist ganz viel passiert, damals im Jahr der Mathematik 2008, wo viele, viele Menschen algebraische Flächen erzeugt haben, denen auch lustige Namen gegeben haben und es gab Wettbewerbe, Ausstellungen in vielen Ländern, wo man diese Mischung aus Formel und Form in einer schönen, ästhetisch schönen Weise erleben konnte. Wir haben dann später auch noch ein sehr schwieriges, offenes Problem, wie kriegt man aus dieser Fläche, aus dieser re-getristen Fläche, wo ich eigentlich nur die Bildpunkte kenne, einen 3D-Druck zum Beispiel. Hier sieht man noch ein paar Beispiele von Flächen, auch von diesen Wettbewerben und was spannend ist, auch weil das Programm offen lizenziert ist, wurde es zum Beispiel hier von einem Chefkoch, so einem Michelin-Chefkoch in Malaga, zu einem Gericht umgedichtet. Er hatte so mathematische Fünf-Sterne-Küche daraus gemacht und in Slowenien landete das auch auf einer Mode-Kollektion. Es ist schön, wenn die Mathematik in den Mainstream übergeht, hier mit der Formel am Label des Kleiders drauf. Gut, jetzt geht es weiter in die Musik. Das nächste Programm heißt ScaleLab, also das Labor der Tonleitern. Jetzt muss ich mal schauen, den Tonlauter schalten hier. Ich schalte mal hier auf eine einfache Sinuswelle und einfach mal hier auf Wellenform. Hört man das? Genau. Stellt euch mal ein Klavier vor, das keine Tasten hat, sondern auf dem man alle Frequenzen hier spielen kann. Das wäre dann so. Da kann man natürlich schöne Melodien spielen. Jetzt ist es im Normalfall aber so, dass man nur endlich viele Tasten möchte. Das ist auch einfacher für die Musik. Das heißt, man muss sich überlegen, welchen Ton, welche Frequenz kann ich denn jetzt hier unten spielen? Man sieht hier die blauen Linien. Ich kann nicht alle nehmen, das heißt, ich nehme gewisse raus. Und jetzt ist die Frage, wie stimme ich denn mein Klavier? Welche nehme ich denn da? Und wie kann ich denn so Tonleitern bauen? Und welche Töne klingen denn ganz gut zusammen, wenn ich jetzt mehrere gleichzeitig spiele? Jetzt ist es interessant, man kann hier verschiedene Stimmungen sich aussuchen. Ich nehme mal die pythagoreische Stimmung. So, ich gehe mal wieder zurück und spiele mal zum Beispiel hier die zwei gemeinsam. Man sieht schon, da habe ich jetzt sozusagen die doppelte Wellenlänge. Die gemeinsam klingen auch ganz gut. Wenn ich hier eine Terz spiele oder eine Quint, dann klingt das auch ganz gut gemeinsam. Die Theorie von Pythagoras war, wenn die Zahlen klein sind, dann klingen die Töne schön zusammen. Also 3 über 2, also eineinhalbfache Wellenlänge oder eineinhalbfache Frequenz, dann genau klingt das gut. Und wenn die Zahlen höher sind, dann klingt es nicht mehr ganz so gut gemeinsam. Da gibt es jetzt noch andere Visualisierungsmöglichkeiten. Es ist natürlich auch immer ein bisschen subjektiv, wie was klingt. Wenn ich jetzt hier diese Wellen, diese zwei Frequenzen einmal x-Achse und y-Achse zusammen zeige, dann sieht man hier zum Beispiel kommt ein schönes Bild raus. Wenn ich zwei Nahetasten nehme, dann wackelt das Bild und man könnte sagen, wenn die Bilder ein bisschen stabiler sind, dann klingt es eigentlich besser. Wenn die wackeln, dann klingt es nicht so gut gemeinsam. Helmholtz, ein Physiker, hatte versucht eine Theorie zu finden und eine sogenannte Dissonanzkurve entwickelt, wo er sagt, wenn ich hier zwei Töne nehme und die in der Kurve beide relativ weit unten sind, dann klingt das gemeinsam gespielt gut. Wenn die in der Nähe sind, dann klingt das gemeinsam gespielt nicht so gut. Und mit diesem Programm kann man jetzt über diese Analyse-Tools, und man hat hier auch so einen Synthesizer, man kann sich selbst Instrumente basteln und kann jetzt auch mit Stimmungen spielen. Man kann auch sagen, ich nehme zum Beispiel eine indische Raga mit einem Grundton und da habe ich jetzt auch andere Arten von Noten. Also hier zum Beispiel. Da braucht man dann schon zwischendurch mal alle Noten. Jetzt habe ich ein ganz besonderes Exponat. Mal schauen, ob das auch hier funktioniert. Die Rosa Posaune ist keine Posaune, sondern es geht um die Stimme. Das können wir mal aufmachen. Das ist jetzt ein mathematisches Modell von dem Vokaltrakt eines Menschen. Stellt euch vor, man schneidet hier einmal quer so durch oder schaut so rein und kann jetzt hier unten die Intensität und auch die Tonhöhe einstellen, die hier generiert wird, in der Glottis heißt es, und dann sozusagen den Raum dazwischen gestalten, indem ich hier die Zunge bewege. Also hier die Höhe. Und die Nase brauche ich auch manchmal dazu. Und jetzt können wir mal versuchen, hier zum Beispiel La, La, Da muss man den Mund so machen. Und das Interessante ist, es funktioniert erstaunlich gut. Es gibt auch im Internet Videos dazu, wo Leute damit singen oder reden. Das ist ein bisschen schwierig. Da braucht man mehrere Finger dazu. Das Spannende, ich zeige mal kurz ein Video aus der Realität. Das ist eine Kernspintomographie von einem Bariton. Das mathematische Modell funktioniert über so Zylinderscheiben. Das sind in dem Modell 44 Zylinderscheiben mit verschiedenen Größen. Und da wird die Luft durchgeströmt. Also das ist auch so ein numerisches Modell von einer Strömungsgleichung. Und am Ende kommt dann eine schöne Stimme raus oder eine Stimme. Und die Nase ist wichtig. Hier steht noch plus Nase, die sieht man hier im Bild nicht, aber das ist noch eine Zylindersequenz, die noch dazugehört. Gut, weil wir schon bei Strömungsgleichungen sind, gehen wir gleich zu einem Programm, das heißt Navier Stroke. Das ist ein Wortspiel, sehen wir auch gleich, wieso. Und tauchen jetzt ein in die Mathematik des Klimawandels. Das ist auch eine Echtzeitsimulation, mit der man Flüssigkeiten oder Fluide, auch Gase, simulieren kann. Es gibt ja auch verschiedene Parameter, wo man die Dispersion oder Viskosität, verschiedene Sachen einstellen kann. Hier ist es voreingestellt. Das ist ein schönes Programm, wenn jemand ein Tablet oder so dabei hat, mit vielen Fingern gleichzeitig. Das ist ganz meditativ hier, Flüssigkeiten. Ohne, dass man etwas ankleckert, kann man hier mit Flüssigkeiten spielen. Und das ist auch wieder super viel Mathematik, das braucht auch eine gute Grafikkarte dazu, sonst würde das auch nicht so flüssig schnell laufen. Und genau, da werden in Echtzeit diese Navier -Strokes-Equations-Gleichungen gelöst. Ich habe die hier auch aufgelistet, kann mal kurz einen Überblick geben, wie die funktionieren, also Differenzialgleichungssysteme. Und es geht darum, hier die Beschleunigung der Luft zu berechnen, und die wird durch verschiedene Kräfte beeinflusst. Also es gibt den Luftdruck, so etwas wie kennt man, dass die Luft von einem Hochdruckgebiet in das Tiefdruckgebiet wandert. Dann gibt es die Coriolis-Kraft der Erde, die Erde dreht sich ja ziemlich schnell. Hier natürlich auch so etwas wie Schwerkraft und diese Parameter, die Viskosität im Inneren. Das Spannende ist, diese Gleichungen sind sehr universell einsetzbar, also auch für, ich habe hier eine Simulation von einem Freund, der Gletscherforschung macht, also sowohl Gletschereis bewegt sich mit diesen Gleichungen, aber auch Honig. Die Gleichungen sind relativ kompliziert und da kann man sich auch schnell den Kopf zerbrechen, wie das funktioniert. Aber es gibt schöne, schnelle, numerische Lösungen, auch, wie wir gesehen haben, auf der Grafikkarte. So, jetzt haben wir Forschung gehört, steigen wir ein in die Welt der künstlichen Intelligenz, das ist auch mein eigenes Forschungsgebiet und starten mit einem Programm, mit einem neuronalen Netz, das heißt neuronale Zahlen. Und da habe ich jetzt, ich starte mal ein anderes, hier gibt es verschiedene Versionen, ich starte mal hier die Vollversion. Man kann zuerst mit einem trainierten neuronalen Netz spielen. Also ich kann hier eine Zahl per Hand eingeben und sehe dann, was das neuronale Netz erkennt. Also kann ich da eine Zahl erkennen, ich kann hier irgendwas machen, und dann sieht man hier in der Mitte diese, ich bin mir sicher, es ist eine 4, je höher die Balken, umso sicherer ist sich das Netzwerk, und man kann sozusagen zuschauen, was passiert, ich kann auch irgendwas machen, ich bin mir sicher, es ist eine 8, ja gut, die 8 hat halt viele Schleifen, ist auch ganz spannend, zum Beispiel wenn man ein X macht, dann glaubt das Netzwerk auch meistens eine 8, wieso hier eine 1 rauskommt, ist auch spannend. Und hier gibt es immer die erste Aufgabe, kann man das Netzwerk austricksen, hier sieht man schon, es ist ja eigentlich keine 1, sondern eine 7, aber das hängt damit zusammen, dass dieses Netzwerk mit den amerikanischen Ziffern trainiert wurde, wo die 1 einfach nur ein Strich ist. Genau, also hier hat man ein neuronales Netz, das ist schon trainiert. Das Spannende ist jetzt, wie sieht so ein Netz aus, und wie kann ich so ein Netz trainieren. Hier habe ich jetzt ein Netz, das ist gar nicht trainiert, das fängt irgendwie zufällig an, gibt auch irgendwie zufällig ein Output, die Balken sind noch nicht besonders hoch, das ist nicht sicher, und ich kann jetzt hier sagen, bitte, ich trainiere dich jetzt, Netz, ich zeige dir immer ein Bild, und auch dann die Lösung, also ich zeige dir ein Bild von einer 5 und sage dir, das ist eine 5, ein Bild von einer 6 und sage dir, das ist eine 6. Viele Bilder hier, sagen wir mal, 6.000 Bilder, stopp mir mal kurz, und das Netzwerk versucht, ich zeige auch gleich wie, in der Mitte verschiedene Parameter anzupassen, damit dann am Ende auch wirklich das rauskommt, was rauskommen soll. Und hier sieht man schon, ich habe das jetzt, das war jetzt auch in Echtzeit, hier mit 7.000 Bildern trainiert und funktioniert schon ziemlich gut. Und das Spannende an dieser Technologie ist, dass ich jetzt, ich muss selbst nicht wissen, wie eine 8 aussieht oder wie eine 4 aussieht, sondern ich kann einfach, ich brauche Trainingsdaten, habe eine Technologie, ein neuronales Netz, und das kann mir dann diese Trainingsdaten richtig erkennen. Ich muss keine Vorschriften programmieren, ich brauche nur, unter Anführungszeichen, diese Trainingsdaten und kann es hier trainieren. Genau, es gibt hier auch für Experten noch verschiedene Architekturen, man kann sich hier aussuchen, wie das Netz intern aussieht. Ich zeige mal hier ganz kurz einen mathematischen Einblick in so ein Netz, also den Input, den man hat, den rechnen wir auf 28 mal 28 Bildpunkte runter, also ein bisschen kleiner, als man sieht. Das sind dann, ich glaube, 764 einzelne Farbwerte. Die Farbwerte sind immer zwischen 0 und 1. Das ist ein bisschen klein hier, aber man sieht es schon, 1 ist weiß, dann gibt es ein paar Grautöne und 0 wäre schwarz. Das heißt, am Ende habe ich eine Liste von diesen 764 Zahlen zwischen 0 und 1. Diese Liste, die füttere ich dann in so ein neuronales Netz. Wir schauen mal so ein Video an, wie das aussieht. Also ich habe hier vorne das Bild, die 784 sind, 784 Zahlen, genau, zwischen 0 und 1, genau diese eine Zahl. Und diese Zahlen werden jetzt mit den sogenannten Gewichten multipliziert. Also ich habe eine Zahl, multipliziere die mit dem Gewicht, also hier erster Bildpunkt 0, ist ein schwarzer Bildpunkt, mal 2, kommt 0 raus. Ich mache das jetzt für dieses Bild hier, genau, multipliziere mit allen Gewichten und zähle das dann zusammen. Das heißt, am Ende habe ich dann hier eine Summe und das ist meine Verbindung zu diesem einen versteckten Neuron hier. In der Mitte zähle ich dann noch eine Zahl dazu, es gibt einen sogenannten Bias, den zähle ich noch dazu. Und, ganz spannend, es gibt eine sogenannte Aktivierungsfunktion, das heißt, ich schneide alle negativen Zahlen ab. Ich schicke nur positive Zahlen durch, 0 oder positiv. Das mache ich immer für alle Zahlen, das heißt, ich multipliziere wieder mit den Gewichten, zähle es wieder zusammen, eine Zahl dazu, der Bias, der steuert sozusagen, wie stark ist jetzt diese Verknüpfung hier und dann vorne noch eine Aktivierungsfunktion und am Ende kommt dann der Balken raus. Ja, ich habe die Zahl erkannt oder nicht. Ja, es ist eine 1 oder eine 2. Also hier habe ich 10 Zahlen am Ende und das sind genau meine 10 Ziffern, die rauskommen sollen. Das Spannende ist, wie funktioniert das Training in der Mitte. Das Training heißt genau, ich muss diese Parameter, diese Gewichte so anpassen, dass dann am Ende auch wirklich das rauskommt, was rauskommen soll. Ich habe hier einmal kurz, was wir jetzt sozusagen grafisch angeschaut haben, nochmal hier in mathematischer Schreibweise. Das ist auch ganz schön, man kann das über so Matrizen zusammenfassen und hat dann am Ende sozusagen die Aktivierung an einer Stelle. Das ist ein bisschen so eine Schlacht mit vielen Indizes, weil man hat dann viele so versteckte Neuronen, viele versteckte Schichten, aber am Ende kann man das ganz einfach ausrechnen und hat eine Aktivierungsfunktion und der Rest ist einfach nur Multiplikation und Addition. So, jetzt ist die Frage, wie funktioniert denn jetzt dieses Training? Also ich habe diese Gewichte, aber wie passe ich diese Gewichte an? Und da gehen wir jetzt zu dem nächsten Experiment. Das heißt Gradient Descent und das ist ein Spiel. Kann man auch zu zweit spielen, ich kann mal alleine spielen. Und zwar ist da die Vorgeschichte, dass eine Piratin vor hunderten Jahren in der Karibik einen Riesenschatz versteckt hat, natürlich an der tiefsten Stelle des Ozeans. Und wir sind jetzt ein paar hundert Jahre später mit einem Forschungsboot hier und versuchen diesen Schatz zu heben. Wir können mit dem Boot nach links und nach rechts fahren und können an einer Stelle eine Sonde auf den Boden schicken. Man sieht schon hier, ich habe hier 20 Sonden zur Auswahl, die Zeit läuft auch. Ich stresse mich jetzt mal nicht. Und die Sonde ermittelt dann, wie tief ist es an dieser Stelle und wie ist der Boden an dieser Stelle beschaffen. So, ich kann jetzt mal noch irgendwo eine Sonde nach unten schicken. Und jetzt geht es darum herauszufinden, wie finde ich am schnellsten die tiefste Stelle des Ozeans. Könnt ihr euch vielleicht schon vorstellen, hier geht es zum Beispiel steil runter. Dann versuche ich mal hier weiter runter zu kommen. Oh, hier geht es noch steiler runter. Versuche ich noch weiter runter zu kommen. Ich habe jetzt gerade einen Algorithmus angewandt, nämlich den Gradient Descent, einer der wichtigsten Algorithmen in der KI, wo es darum geht, sich schrittweise an ein Minimum heranzutasten. Das Minimum wäre, hier der Fehler ist 0. Man könnte sagen, das ist so eine Fehlerfunktion, diese Kurve. Wenn man nochmal spielt, dann wird der Schatten an einer anderen Stelle versteckt, nur zur Info. Es kann auch richtig schwer sein. Ihr könnt euch überlegen, was wäre jetzt ein richtig schwieriger Boden. Zum Beispiel, wenn es ganz viele Wellen gibt. Oder ein ganz flacher Boden mit nur einer kleinen Stelle. Das ist natürlich superschwierig. Da kann man mal schauen, wie der Boden hier aussieht. Aber flach ist nie so gut. Da weiß man nicht, wo man hingeht. Und es gibt natürlich auch lokale Minima. Das heißt, das ist zum Beispiel hier so ein lokales Minimum. Das heißt, an der Stelle ist kein Schatten. Ich muss mal schauen, ob ich an irgendeiner Stelle noch tiefer komme. Vielleicht da drüben. Ja, das sieht ganz gut aus. So, genau. Jetzt kann man sich vorstellen, ich weiß jetzt, manchmal vielleicht gar nicht, bin ich in einem lokalen Minimum? Erreiche ich überhaupt ein globales Minimum? Das ist gar nicht so einfach. Aber ich weiß, wenn ich nach unten gehe, komme ich auf jeden Fall an irgendeiner Stelle an ein Minimum. Lokales Minimum. Und das ist ganz gut. Und das ist jetzt, was wir hier gemacht haben, ist sozusagen eine Parameteranpassung in einer Richtung. Das wäre jetzt ein Parameter von diesem Netzwerk. Ich mache den größer oder kleiner. Und den Fehler zu minimieren heißt, das Netzwerk macht genau das, was ich will. Also es erkennt mir zum Beispiel die Zahl 5. So, und dann passe ich halt die Parameter an. Das kann ich immer schrittweise machen. Passe diese Parameter an. Hier ist ein Parameter, also eine Richtung. In den echten großen Netzwerken habe ich Millionen Parameter oder Tausende von Parametern. Gut, genau. Hier vielleicht nochmal ein Bild. Das sind die Trainingsdaten von diesem Beispiel, den neuen Zahlen. Man sieht hier, es wurde mit einem geraden Strich für die 1 trainiert. Das Interessante bei diesen Technologien oder bei dieser Technologie ist, dass es aber trotzdem irgendwie generalisiert. Das heißt, es lernt zwar mit dem einen Strich, aber irgendwie erkennt es dann, wenn da oben noch ein kleines Häkelchen dran ist, für die deutschgeschriebene 1 zum Beispiel, wird es immer noch erkannt. Oder wenn nicht, hier bei der 4 zum Beispiel gibt es auch verschiedene Schreibweisen der 4. Und das ist auch die Stärke von diesen neuronalen Netzen, wenn man die nicht zu ganz genau trainiert, dass die auch so generalisieren können. Gut, ich schaue mal auf die Uhr, wir haben noch 20 Minuten, dann würde ich einfach noch ein paar Experimente dazu machen. Ich hatte nämlich hier unten noch Bonus-Experimente für alle Fälle dazu getan. Auch für später oder zum Spaß. Ich gehe mal in mein eigenes Forschungsgebiet hier. Stochastische Prozesse in der KI, in maschinellem Lernen. Das sogenannte Reinforcement Learning. Wir fangen mal mit einem Spiel an. Das Spiel funktioniert so, wir haben hier Kärtchen. Ich habe 10 Spielzüge und ich kann irgendein Kärtchen aufdecken. Ich fange mal an. Da sind zufällig Zahlen versteckt. Und das Ziel ist, in 10 Spielzügen die möglichst höchste Summe zu kriegen. Ich kann auch die gleiche Karte nochmal aufmachen. Jetzt ist die Frage, was mache ich jetzt mit meinem zweiten Spielzug. Mach mal hier nochmal auf, plus 9, minus 25. Soll ich ein neues aufmachen oder soll ich die plus 9 nehmen? Vielleicht machen wir noch ein neues auf. Noch 6 Spielzüge habe ich. Okay, ich bleibe mal bei der plus 9. Jetzt ist es total spannend zu sehen. Man kann da jetzt eine Simulation laufen lassen. Hier so eine Monte Carlo Methode. Ich lasse das einfach eine Million mal oder hundert Millionen mal durchrechnen. Und überlege mir mal, an welcher Stelle mache ich ein neues Kärtchen auf. Und an welcher Stelle nehme ich nochmal das bisher höchste Kärtchen. Was glaubt ihr denn, bei 10 Spielzügen, wie oft versuche ich etwas Neues zu entdecken? Und an welcher Stelle nutze ich die beste Zahl bisher? Jetzt habe ich 4, 5. Was glaubt ihr denn? 4 oder 5 mal? Vielleicht noch einmal. Na gut, dann bleibe ich jetzt mal hier. Ich zeige mal hier die Statistik. Wenn man das jetzt einfach hier ausrechnet, sieht man zum Beispiel, wenn ich immer bei der ersten Karte bleibe oder immer eine andere Karte nehme, ist in Summe das Gleiche. Fast das Gleiche hier. Und am besten ist, wenn ich 4 mal aufdecke und dann bei dem Höchsten bleibe. In diesem Beispiel. Es hängt ein bisschen natürlich ab, wie hier die Zufallsverteilung ist. Wir haben versucht, einen ein bisschen komplizierteren Zufallsgenerator zu bauen. Es gibt manchmal auch nur negative Zahlen oder ganz hohe Zahlen. Aber im Allgemeinen gibt es eben diese Problematik, an welcher Stelle probiere ich jetzt immer wieder neue Sachen aus und an welcher Stelle bleibe ich bei der bisher Besten? Ich kenne das persönlich auch immer, wenn ich in einen Eisladen gehe und dann gibt es hier Schokolade, mein Lieblingseis. Aber dann gibt es auch hier vielleicht irgendwie Schafskäse, Minz. Und dann ist halt die Frage, soll ich jetzt Schafskäse, Minz ausprobieren oder bleibe ich bei der Schokolade, gehe auf Nummer sicher und esse 3 Kugeln Schokolade? Natürlich könnte hier auch minus 25 herauskommen, aber es könnte natürlich auch plus 200 sein, weil die Mischung sehr lecker ist. Man kennt das vielleicht auch von den Urlaubszielen. Da fahre ich jetzt wieder an den gleichen Ort oder probiere ich mal was Neues. Und das ist ein interessantes Konzept. Neues entdecken oder schon bewährtes wiederverwenden. Und da gibt es hier eine maschinelle Lernmethode, die heißt Reinforcement Learning oder bestellkennendes Lernen, wenn man will auf Deutsch. Und da geht es darum, wie können Agenten lernen, jetzt als Technologie, ganz anders als ein neuronales Netz, ohne Vorwissen. Das heißt, ich habe hier so einen Roboter und der hat verschiedene Aktionen oder einen Agent, das kann auch ein Computerspiel sein. Und der hat verschiedene Aktionen und der kriegt eine Belohnung. Der lernt über Belohnungen. Das ist auch so wie für Menschen, wenn ich auf eine heiße Herdplatte greife, dann ist das eine negative Belohnung, wenn man so will, oder eine Bestrafung. Dann werde ich das nicht nochmal machen. Wenn ich hier das Schokoeis esse, dann freut mich das und dann werde ich versuchen, das nochmal zu essen. Also man versteckt Aktionen, die einem guttun und vermeidet Aktionen, die einem nicht guttun. Und das ist ein bisschen so wie hier. Also hier kriegt er diese Bonbons, da ist die Belohnung gut. Wenn er hier in so ein Lavafeld reinläuft, dann kriegt er keine gute Belohnung. Und wenn er hier zum Ende kommt, dann kriegt er eine Riesenbelohnung. Das Interessante an diesem Lernen ist, ich muss nur diese Belohnungen definieren und der Roboter versucht aber dann selbst zu lernen. Ich lasse ihn jetzt hier mal herumlaufen, der lernt jetzt mal. Und man kann sich das so vorstellen, das wird zum Beispiel bei Schach verwendet. Hier diese Alpha oder auch bei Go, AlphaGo oder diese Schachprogramme. Die Belohnung ist, du gewinnst am Ende, aber die einzelnen Züge, wie man zum Ende kommt, die muss der Roboter selbst herausfinden. Das heißt, er muss Aktionen probieren, ausprobieren, erkunden. Hier sind wir wieder bei diesem Dilemma Ausnutzen von Wissen oder Erkunden. Also hier, wenn ich zum Beispiel sage, nur erkunden, dann fährt er nur zufällig herum. Und wenn ich sage, nur ausnutzen, dann fährt er immer nur den besten Weg. Dieser Roboter hier, der lernt jetzt schon eine Weile. Ich kann es auch ein bisschen beschleunigen. Am Anfang, klar, ist ein bisschen zufällig. Muss mal schauen, ob er es irgendwann mal schafft, hier zum Ziel zu kommen. Fährt er wieder ein bisschen herum zufällig. Und was er jetzt macht, er baut sich im Hintergrund so eine Wissenskarte auf. Ich mache das mal auf. Und im Grunde schaut er nur, was ist die erwartete Belohnung, wenn ich an einem Feld stehe. Also zum Beispiel hier oben neben dem Ausgang, was ist meine erwartete Belohnung? Er kriegt beim Ausgang plus 50. Das heißt, wenn ich ein Feld vorher bin, für jedes Feld, das er fährt, verliert er eins, also minus eins. Das heißt, da kriegt er 49. Wenn er noch in der Nähe ist, kriegt er 48. Das heißt, da oben weiß er schon, das ist immer der beste Weg dorthin. Den Rest muss er noch entdecken. Da ändern sich jetzt auch immer die Zahlen, wenn er hier herumfährt. Ich kann ihn noch ein bisschen schneller lernen lassen. Und genau, dauert ein bisschen. Und er baut sich so eine Value Map, heißt es, wie so eine Karte auf, mit den erwartenden langfristigen Belohnungen. Und die definieren dann die besten Aktionen für den Roboter. Im Moment macht er so eine Mischung. Man sieht hier unten diesen Balken zwischen Ausnutzen und Erkunden. Er nutzt ein bisschen aus und erkundet ein bisschen. Und man könnte sagen, ich mache jetzt zum Beispiel nur Erkunden. Dann fährt er nur zufälliger herum. Er kann immer noch trotzdem weiter lernen. Oder ich sage, bitte fahr den besten Weg. Und hier unten weiß er vielleicht noch nicht, wo das Ziel ist, aber hier oben hat er es vielleicht schon gelernt. Und jetzt weiß man zum Beispiel, wenn er hier startet, hat er schon den besten Weg und fährt dann immer direkt ins Ziel. Man kann sich jetzt auch wieder die Karte anschauen. Er fährt immer dorthin, wo es die höchsten Belohnungen gibt. Und das Schöne an diesem Lernverfahren ist, dass es algorithmisch, also von der Informatik oder zum Programmieren her, ganz einfach ist. Man muss immer nur sozusagen von einem Feld zum nächsten rechnen und dann wieder von einem Feld zum nächsten. Und am Ende hat er aber auch dann die, auch mathematisch bewiesen, die beste Policy, heißt es, also den besten Weg, um ans Ziel zu kommen. Und das ist auch hier ganz spannend, dass man hier auch richtig beweisen kann, dass es auch immer so einen besten Weg gibt in diesen Prozessen. Gut, so, ich schaue mal, vielleicht noch ein Beispiel. Was kann man denn noch machen? Vielleicht noch zum Abschluss ein Logikspiel. Genau, hier haben wir eine Astronautin im Weltraum und die kann sich nur bewegen, wenn sie auf ein Hindernis stößt. Also hier zum Beispiel könnte sie sich nach unten bewegen und würde dann hier stoppen vor diesem Satelliten. Und das Ziel ist es, die Astronautin zu ihrer Rakete zu bringen. So, das kann man sich hier schon vorstellen. Und für die Satelliten gilt dasselbe. Ich kann die verschieben, aber immer auch nur so weit, bis sie irgendwo landen. Also ich kann jetzt zum Beispiel hier die Astronautin da runter schicken, dann könnte ich hier den Satelliten hier hinschicken, die Astronautin hier rüber und habe den ersten Level geschafft. So, genau, das ist auch noch einfach. Gut, was machen wir hier? Hat jemand eine Lösung? Ich sehe es gerade nicht. Könnte ich den da rüber schicken? Vielleicht den so rauf? Genau, und wieder weiter. Und es wird immer schwieriger und was hier die Herausforderung war, es gibt viele von diesen Sliding-Puzzle-Spielen und hier jetzt für uns, auch als Mathematiker, zum einen genau die Levels zu generieren, also Levels zu generieren, die lösbar sind. Das kann man auch iterativ machen oder sozusagen einmal durchspielen und wenn ich eine Lösung habe, dann habe ich so ein Level. Aber dann, und das ist das Schwierige, den Schwierigkeitsgrad zu definieren. Wann ist ein Level schwierig? Und hier haben wir so einen Level-Generator, auch immer wenn man das neu startet, werden neue Level generiert, aber einzuteilen, wann ist ein Level schwierig, ist gar nicht so einfach und ist auch hier in der Puzzle-Spiel-Mathematik ein großes Problem. Es ist nicht nur die, also kann man sich überlegen, vielleicht die Anzahl der Spielzüge, aber vielleicht ist es manchmal auch ganz logisch. Ich habe immer nur einen Zug und dann ist die Anzahl der Spielzüge nicht unbedingt eindeutig ein Indiz für Schwierigkeit. Oder auch so, wie wir vorher gesehen haben, ich muss dann vielleicht die Astronauten einmal in die Richtung, einmal in die Richtung spielen oder die Satelliten dreimal hin und her. Und man sieht schon, also klar könnte man sagen, es gibt noch viel mehr Satelliteninteraktion zum Beispiel, aber das ist zum Beispiel ein schwieriger Level, der gar nicht so viele Satelliten hat und man kann sich überlegen, wie man da spielt. Wir arbeiten in der Mathematikkommunikation recht viel mit Spielen. Vielleicht auch ein kleiner Hinweis, der nächste internationale Tag der Mathematik, der ist immer am 14. März, der hat das Motto Spielen mit Mathematik und da wird es auch viele Spiele geben. Gut, ich komme mal langsam zum Ende. Eine Sache wollte ich noch sagen, es gibt von Niki Kees, das ist eine Person, die ganz viel super spannende Mathematikkommunikation macht. Ich weiß nicht, ob jemand Niki kennt. Und Niki hatte mal bei einem Vortrag gesagt, man sollte immer zuerst die Sachen zeigen und erst danach darüber erzählen. Und seit ich das gehört habe, habe ich mir gedacht, ja stimmt, das macht eigentlich total Sinn. War jetzt auch ein bisschen so die Idee hier, man zeigt das Experiment und erst danach erzählt man, was passiert. Und man erwischt sich aber total oft, dass man immer zuerst erzählen will und danach zeigen. Das ist irgendwie so in uns drin. Ich erkläre mal, was wir machen, das funktioniert so, das ist so, das ist so. Aber eigentlich ist dieser Moment, man ist schon in der Sandkiste, man hat schon gespielt und dann gibt es die Physik des Sandes und des Wassers drin. Ja, es wurde vorher schon erwähnt, ganz kurz, wir entwickeln diese Exponate, sehr viel softwarebasiert, aber es gibt auch viele physische Sachen, immer gemeinsam mit Mathematikerinnen. Wir sind eine gemeinnützige Organisation, also wir kommen aus der akademischen Welt, machen das alles non -profit, auch weltweit und haben eben diesen offen lizenzierten Ansatz. Das heißt, wir entwickeln ein Exponat, oft ist es dann gefördert und danach kann es aber weltweit kopiert werden. Also viele, ob das jetzt Museen sind oder Universitäten, die übernehmen diese Exponate. Und hier ein Hinweis für alle zukünftigen Mathematikerinnen oder auch anderen Wissenschaftlern, wir arbeiten an einem großen Projekt, auch ein DFG-Projekt, auch zusammen mit der DMV, das heißt MARDI und da geht es um mathematische Forschungsdateninfrastruktur. Und ich habe schon erwähnt, diese Open-Source -Logik hier in der Wissenschaftskommunikation ist total wichtig, aber in der Forschung ist es umso wichtiger, also Open Science als Schlagwort hier. Und es tut sich unglaublich viel in dem Bereich Forschungsdaten. Und in der Mathematik ist es ganz besonders schwierig auch zu sehen, was sind denn alles Forschungsdaten. Das sind genauso die Formeln, der Quellcode dazu, Modelle, natürlich auch echte Daten, die man hat, aber im Prinzip alles, mit dem man arbeitet. Und es gibt diese sogenannten Fair-Prinzipien, wo es darum geht, dass man eben diese Daten fair macht. Das heißt, man legt die so ab, dass man die einfach auffinden kann, dass man die auch zugreifen kann, also dass da keine Paywall oder irgendwas dazwischen ist, oder dass die Daten auch miteinander funktionieren. Also ich habe hier vielleicht so einen Benchmark -Test, der funktioniert dann auch mit anderen Daten, dass es da Schnittstellen gibt und dass man die Daten auch wirklich wiederverwenden kann. Und das ist ein sehr großes und sehr wichtiges Projekt und ich finde, man kann es gar nicht oft genug erwähnen, dass wir versuchen, die Daten nachhaltig aufzubereiten. Gut, dann bin ich hier am Ende angelangt und bedanke mich für die gemeinsame Reise und bin gern hier für Fragen noch.